Top Ad unit 728 × 90

Latest news

recent

Nguyên lý ánh xạ thu gọn (Contraction Mapping Theorem)

I. Nguyên lý điểm cố định Banach (The Fixed Point Principle - Banach)

Ta xét ví dụ dưới đây, M là tập hợp những căn nhà trên cùng một con đường. Các căn nhà được đánh số liên tiếp nhau và khoảng cách giữa hai căn nhà là giá trị tuyệt đối của hiệu của hai số nhà của hai căn nhà. Ta thấy rằng, khoảng cách này không giống như khoảng cách địa lý chúng ta thông thường hay dùng. Tuy nhiên nó vẫn có những tính chất cơ bản của khái niệm khoảng cách thông thường này.

(a) Khoảng cách giữa hai căn nhà khác nhau là luôn dương và đối xứng. Nghĩa là d(x, y) = d(y, x) > 0 (x # y). Còn khoảng cách giữa một căn nhà với chính nó là 0, hay d(x, x) = 0.

(b) Nó cũng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác (Trong 1 tam giác ABC: AB+BC >= AC) rằng: tổng khoảng cách giữa x với y và y với z là lớn hơn hoặc bằng khoảng cách giữa x với z. Nghĩa là d(x, y) + d(y, z) >= d(x, z).

Không gian metric: một không gian metric M là một tập hợp trong đó có khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử được định nghĩa. Chẳng hạn d(x, y) là khoảng cách giữa hai điểm x và y thuộc M.

Không gian metric đầy đủ: không gian metric M gọi là đầy đủ nếu cho một dãy x(n) các phần tử sao cho với k, l thuộc M càng lớn thì x(k), x(l) càng gần nhau (tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong M sao cho x(n) ngày càng gần với x. Nghĩa là x(n) hội tụ về x.

Định lý ánh xạ thu gọn: cho không gian metric đầy đủ M. Với f : X --> X, nếu tồn tại a thuộc [0, 1) sao cho với mọi x, y ta có d[f(x), f(y)] <= a.d(x, y). Khi đó tồn tại duy nhất x(0) thỏa mãn f[x(0)] = x(0). Và nếu dãy x(n) thỏa: x(i) = f[x(i-1)] thì x(n) hội tụ về x. Như vậy, vì khoảng cách giữa các điểm ảnh của f nhỏ hơn khoảng cách giữa các điểm trước ánh xạ, nên f gọi là hàm ánh xạ co. Có thể hiểu nôm na là hàm f làm cho các điểm co lại.



II. Ứng dụng

Định lý này là một trong những kết quả cơ bản nhất của toán học được chứng minh dựa trên tính chất kết quả của cấp số nhân lùi. Nó thường được dùng để chứng minh dãy hội tụ có dạng x(i) = f[x(i-1)]. Trong đó, nổi bật là nó đã được ứng dụng trong công cụ tìm kiếm của Google như tài liệu này. Ngoài ra có một kết quả khá thú vị dường như vô lý là: “Nếu trải một bản đồ thế giới ra thì sẽ có đúng một điểm trên bản đồ trùng với điểm mà nó biểu diễn”?!

Ta thấy được rằng định lý ánh xạ thu gọn này là một trong những mấu chốt để có thể có được lời giải của các bài toán ill-posed. Đây là điều kiện cần để xác định khả năng hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của các bài toán phục hồi ảnh lặp.


Russel Nguyen
Nguyên lý ánh xạ thu gọn (Contraction Mapping Theorem) Reviewed by Tuấn Anh on 6:54:00 PM Rating: 5
All Rights Reserved by IEEV © 2009 - 2016
Powered By Blogger, Designed by Sweetheme

Contact Form

Name

Email *

Message *

Powered by Blogger.